e (wiskunde)

Het getal e, een belangrijke wiskundige constante, is het grondtal van de natuurlijke logaritme. Het is gedefinieerd als:

en heeft de benaderende waarde:

Het getal wordt ook de constante van Neper (Napier) genoemd, naar de uitvinder van de logaritme, de Schotse wiskundige John Napier die omstreeks 1600 tegenkwam bij zijn werk aan een van de eerste rekenlinialen. Het werd door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler het exponentiële getal genoemd, vandaar vermoedelijk deze letter. Euler maakte voor het eerst een grondige studie van en heeft in zijn eentje bijna alle belangrijke eigenschappen ervan ontdekt.

Eigenschappen

Het getal is het grondtal voor de exponentiële functie (-macht) , ook geschreven als . De natuurlijke logaritme is de inverse van de exponentiële functie:

De exponentiële functie is gelijk is aan haar afgeleide:

De Taylorreeks van de e-macht is:

Daaruit kan door de substitutie de volgende reeks voor gevonden worden:

Ter vergelijking staan hieronder de eerste 20 termen uit de definiërende rij en de eerste 20 partiële sommen van de bovenstaande reeks.

12,000000002,00000000
22,250000002,50000000
32,370370372,66666667
42,441406252,70833333
52,488320002,71666667
62,521626372,71805556
72,546499702,71825397
82,565784512,71827877
92,581174792,71828153
102,593742462,71828180
112,604199012,71828183
122,613035292,71828183
132,620600892,71828183
142,627151562,71828183
152,632878722,71828183
162,637928502,71828183
172,642414382,71828183
182,646425822,71828183
192,650034332,71828183
202,653297712,71828183

Een benadering via de definiërende rij vergt n vermenigvuldigingen. Via de benaderende reeks moeten n termen opgeteld worden, en voor elke volgende term is een vermenigvuldiging en een deling nodig, dus in totaal n vermenigvuldigingen en n delingen. Voor de nauwkeurigheid moet dus de rij voor 2n vergeleken worden met de reeks voor n. Toch zal de benadering via de reeks bij eenzelfde 'nauwkeurigheid' (verschil tussen opeenvolgende termen in de lijst) minder bewerkingen nodig hebben in vergelijking met de rij. Bij n = 1000 000 000 'doet' bijvoorbeeld de rij het nog altijd 'slechter' dan de reeks bij n = 12.

Het getal e is irrationaal (voor het eerst bewezen door Johann Heinrich Lambert in 1761 en later ook door Euler) en transcendent (in 1873 bewezen door Charles Hermite).

Belang van e in de wiskunde van de transcendente getallen

e is een van de belangrijkste constanten in de wiskunde. Op iedere hoek van de wiskundige wereld komt men e tegen bv. in de formule van Euler:

De identiteit van Euler, een speciaal geval hiervan waarbij een verband tussen de vijf belangrijkste wiskundige constanten gelegd wordt, is door Richard Feynman 'de opmerkelijkste formule in de wiskunde' genoemd (Lectures on Physics, p.I-22-10):

Hoewel Georg Cantor bewees dat er oneindig meer transcendente getallen (door sommige wiskundigen de donkere materie van de wiskunde genoemd) zijn dan andere soorten zoals de natuurlijke getallen is e een van de weinige getallen waarvan de transcendentie bewezen is. Twee andere zijn en het getal van Joseph Liouville met symbool L. Ook weet men nog steeds niet of met , , en met andere elementaire bewerkingen een nieuw transcendent getal tevoorschijn komt. Een van de weinige gevallen is , de Constante van Gelfond, waarvan de transcendentie bewezen is.

Door bestudering van e wist Alan Baker van Cambridge echter wel nieuwe klassen van transcendente getallen te vinden waarvoor hij in 1970 de Fields-medaille kreeg. Vanaf de jaren 1990 tot heden is er grote vooruitgang geboekt met de studie van e voor de theorievorming over transcendente getallen door o.a. Boris Zilber (Oxford) en Alain Connes die eveneens de Fieldmedal kreeg voor zijn ontdekkingen.

Zie ook

Externe links

This article uses material from the Wikipedia article "e (wiskunde)", which is released under the CC BY-SA 3.0 license.